Двум машинисткам поручено перепечатать рукопись.Первая машинистка работала 7 дней потом к ней

Ответы на вопрос

Отвечает Оспищева Маша.

Задача состоит в том, чтобы найти, за какое время каждая машинистка могла бы перепечатать рукопись в одиночку, если известны некоторые параметры их работы.

Разбор условий задачи

Первая машинистка работает 7 дней, потом к ней присоединилась вторая машинистка, и они вместе завершили работу за еще 8 дней.
Первая машинистка работает быстрее второй и на выполнение работы ей нужно на 7 дней меньше, чем второй.

Обозначим время, которое требуется второй машинистке для выполнения работы в одиночку, как $x$ дней. Тогда для первой машинистки время, необходимое для выполнения работы, будет равно $x - 7$ дней.

Шаг 1: Обозначения для производительности машинисток

Предположим, что производительность машинистки — это доля работы, которую она выполняет за один день. Если первая машинистка может выполнить работу за $x - 7$ дней, её производительность будет $\frac{1}{x - 7}$ работы в день. Для второй машинистки, которая выполняет работу за $x$ дней, её производительность равна $\frac{1}{x}$ работы в день.

Шаг 2: Расчет работы, выполненной машинистками

За 7 дней первая машинистка выполняет $7 \times \frac{1}{x - 7} = \frac{7}{x - 7}$ работы.
После этого к ней присоединилась вторая машинистка, и они вместе выполняли работу еще 8 дней. За эти 8 дней они выполнили $8 \times \left( \frac{1}{x - 7} + \frac{1}{x} \right)$ работы.

В итоге вся работа (единица работы) должна быть равна сумме выполненной работы:

\frac{7}{x - 7} + 8 \times \left( \frac{1}{x - 7} + \frac{1}{x} \right) = 1

Шаг 3: Упростим уравнение

Раскроем скобки и упростим выражение:

\frac{7}{x - 7} + 8 \times \frac{1}{x - 7} + 8 \times \frac{1}{x} = 1

Соберем подобные члены:

\left( \frac{7}{x - 7} + \frac{8}{x - 7} \right) + \frac{8}{x} = 1

\frac{15}{x - 7} + \frac{8}{x} = 1

Шаг 4: Решим уравнение

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $x(x - 7)$ :

15x + 8(x - 7) = x(x - 7)

Раскроем скобки:

15x + 8x - 56 = x^2 - 7x

Приведем подобные члены:

23x - 56 = x^2 - 7x

Переносим все в одну сторону:

x^2 - 30x + 56 = 0

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-30)^2 - 4 \times 1 \times 56 = 900 - 224 = 676

Корни уравнения:

x = \frac{-(-30) \pm \sqrt{676}}{2 \times 1} = \frac{30 \pm 26}{2}

Таким образом, получаем два возможных решения:

x = \frac{30 + 26}{2} = 28 \quad \text{или} \quad x = \frac{30 - 26}{2} = 2

Шаг 6: Проверка решения

Если $x = 28$ , то время первой машинистки будет $28 - 7 = 21$ день. Это разумное решение, так как обе машинистки могут работать в разумные сроки.
Если $x = 2$ , это приводит к абсурдному результату, так как вторая машинистка должна бы работать гораздо быстрее первой, что противоречит условию задачи.

Таким образом, вторая машинистка могла бы перепечатать рукопись за 28 дней, а первая — за 21 день.

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра

Последние заданные вопросы в категории Алгебра