Разность двух чисел равна 14, а произведение 120. найдите эти числа. подробное решение, пожалуйста

Задача состоит в том, чтобы найти два числа, разность которых равна 14, а произведение — 120.

Обозначим эти числа как $x$ и $y$, где $x > y$. Из условия задачи имеем две важные информации:

1. Разность чисел: $x - y = 14$.
2. Произведение чисел: $x \cdot y = 120$.

Шаг 1: Выразим одно из чисел через другое

Из первого уравнения $x - y = 14$ можно выразить $x$ через $y$:

Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение

Теперь подставим $x = y + 14$ во второе уравнение $x \cdot y = 120$:

Раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону:

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Теперь нужно решить квадратное уравнение $y^2 + 14y - 120 = 0$. Для этого используем дискриминант.

Дискриминант $D$ для уравнения $ay^2 + by + c = 0$ вычисляется по формуле:

В нашем случае $a = 1$, $b = 14$, $c = -120$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

Корень из дискриминанта:

Шаг 4: Находим корни уравнения

Теперь можно найти корни уравнения с помощью формулы:

Подставляем значения:

Это дает два возможных значения для $y$:

1. $y = \frac{-14 + 26}{2} = \frac{12}{2} = 6$,
2. $y = \frac{-14 - 26}{2} = \frac{-40}{2} = -20$.

Шаг 5: Находим значения для $x$

Теперь, зная $y$, можем найти $x$. Мы уже выразили $x$ через $y$: $x = y + 14$.

1. Если $y = 6$, то $x = 6 + 14 = 20$.
2. Если $y = -20$, то $x = -20 + 14 = -6$.

Шаг 6: Проверяем произведение

Проверим, что произведение этих чисел действительно равно 120:

• Для чисел 20 и 6: $20 \cdot 6 = 120$,
• Для чисел -6 и -20: $(-6) \cdot (-20) = 120$.

Ответ:

Таким образом, решения задачи: два числа — это 20 и 6, или -6 и -20.