Найдите корни квадратного уравнения $x^2 + 16x + 64 = 0$.

Для того чтобы найти корни квадратного уравнения $x^2 + 16x + 64 = 0$, можно воспользоваться различными методами. Рассмотрим метод выделения полного квадрата, так как уравнение имеет вид, близкий к такому.

1. Проверим, можем ли мы выделить полный квадрат

Обратим внимание, что коэффициенты уравнения вполне могут позволить выделить полный квадрат. Уравнение выглядит так:

Попробуем привести его к форме $(x + a)^2 = b$, где $a$ и $b$ — числа, которые мы найдем.

2. Выделяем полный квадрат

Для выделения полного квадрата нам нужно проверить, можно ли представить выражение $x^2 + 16x + 64$ как квадрат бинома. Мы видим, что первый и последний члены уравнения — это $x^2$ и $64$, и если взять половину коэффициента при $x$ (то есть половину числа 16), получится 8. Площадь квадрата, построенного на этом числе, будет $8^2 = 64$.

Таким образом, уравнение можно записать как:

3. Находим корни

Теперь, когда у нас есть форма полного квадрата, можем решить уравнение:

Из этого уравнения следует, что:

Отсюда:

4. Ответ

Единственный корень уравнения $x^2 + 16x + 64 = 0$ — это $x = -8$. Это уравнение имеет дважды повторяющийся корень, так как оно может быть записано как квадрат бинома.