1. Какие треугольники называются равными? (с доказательством) 2. Что такое теорема и доказательство теоремы? (с доказательством)

1. Какие треугольники называются равными?

Треугольники называются равными (или совпадающими), если они имеют одинаковую форму и размер. Это означает, что их соответствующие стороны и углы равны. Формально, два треугольника $ABC$ и $A'B'C'$ называются равными, если:

• Сторона $AB = A'B'$,

• Сторона $BC = B'C'$,

• Сторона $CA = C'A'$,

• Угол $\angle ABC = \angle A'B'C'$,

• Угол $\angle BCA = \angle B'C'A'$,

• Угол $\angle CAB = \angle C'A'B'$.

Чтобы доказать, что два треугольника равны, достаточно показать, что между ними выполняются эти условия. Существуют различные способы доказательства равенства треугольников, такие как:

• По трём сторонам (SSS - Side-Side-Side): если три стороны одного треугольника равны соответствующим трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

• По двум сторонам и углу между ними (SAS - Side-Angle-Side): если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого, и угол между ними тоже равен, то треугольники равны.

• По одному углу и двум прилежащим сторонам (ASA - Angle-Side-Angle): если один угол и две прилежащие стороны одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то треугольники равны.

• По равенству двух углов и одной стороны (AAS - Angle-Angle-Side): если два угла и одна сторона одного треугольника равны соответствующим углам и стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.

2. Что такое теорема и доказательство теоремы?

Теорема — это математическое утверждение, которое можно доказать с помощью логических рассуждений, исходя из аксиом, определений и уже известных теорем. Теорема обязательно должна быть доказана и не может быть просто утверждением без доказательства. Это результат, который выводится в рамках строго определённой логической системы.

Доказательство теоремы — это логическое рассуждение, которое строится на основе аксиом, определений и уже доказанных теорем, чтобы подтвердить истинность теоремы. Доказательство должно быть завершённым, непрерывным и не иметь противоречий. Оно может быть как прямым (когда утверждается истина теоремы непосредственно), так и косвенным (через доказательство противоположного и доказательство его неверности).

Пример доказательства теоремы:

Рассмотрим теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство:

1. Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $C$, гипотенуза $AB$, катеты $AC$ и $BC$.

2. Построим квадрат, стороны которого равны длине гипотенузы $AB$, и два других квадрата, стороны которых равны длинам катетов $AC$ и $BC$.

3. Площадь квадрата на гипотенузе будет $AB^2$, а площади квадратов на катетах — $AC^2$ и $BC^2$.

4. Составим из этих квадратов два прямоугольных треугольника и покажем, что площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах.

Таким образом, теорема доказана.