Доказательство теоремы о свойстве катета прямоугольного треугольника , лежащего против угла в 30 градусов .

Доказательство теоремы о свойстве катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла 30 градусов, можно привести следующим образом.

Утверждение теоремы:

В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 30 градусам, катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором угол $\angle ABC = 90^\circ$, угол $\angle A = 30^\circ$, а угол $\angle C = 60^\circ$ (так как сумма углов в треугольнике всегда равна 180°).

2. Обозначим гипотенузу треугольника как $c$, катет, лежащий напротив угла 30°, — как $a$, а катет, лежащий напротив угла 60°, — как $b$.

3. В прямоугольном треугольнике с углами 30°-60°-90°, существуют известные отношения между сторонами:

   • Гипотенуза $c$ в два раза больше катета, лежащего напротив угла 30°.
   • Катет, лежащий напротив угла 60°, $b$, равен $c \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c$.

4. Таким образом, для катета $a$, который лежит напротив угла 30°:

   $$a = \frac{1}{2} \cdot c$$

   Это и есть искомое свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего напротив угла 30°.

Вывод:

Катет, который лежит напротив угла 30° в прямоугольном треугольнике, равен половине гипотенузы.