Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы 32 м², а полная поверхность 40 м². Найдите высоту.

Для того чтобы найти высоту правильной четырехугольной призмы, воспользуемся формулами для боковой и полной поверхности.

1. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы состоит из четырех прямоугольных боковых граней, каждая из которых имеет площадь, равную произведению длины ребра основания (стороны квадрата) на высоту призмы. Обозначим сторону квадрата основания через $a$, а высоту призмы через $h$. Площадь боковой поверхности будет равна:

   $$S_{\text{бок}} = 4 \cdot a \cdot h$$

2. Полная поверхность призмы включает боковую поверхность и две площади оснований. Площадь одного основания равна $a^2$, а два основания дают площадь $2a^2$. Полная поверхность выражается как:

   $$S_{\text{пол}} = 4 \cdot a \cdot h + 2 \cdot a^2$$

Теперь подставим известные значения для боковой и полной поверхности:

• $S_{\text{бок}} = 32 \, \text{м}^2$

• $S_{\text{пол}} = 40 \, \text{м}^2$

Подставим это в уравнения:

1. $4 \cdot a \cdot h = 32$

2. $4 \cdot a \cdot h + 2 \cdot a^2 = 40$

Из первого уравнения выразим $a \cdot h$:

Теперь подставим это во второе уравнение:

Решаем его относительно $a^2$:

Теперь найдём $a$:

Теперь, зная $a$, можем найти высоту $h$ из уравнения $a \cdot h = 8$:

Ответ: высота призмы равна 2 метра.