Радиус кругового сектора равен 6 см., а его угол равен 120 градусов. Сектор свернут в коническую

Ответы на вопрос

Отвечает Плюндьян Яна.

Для решения задачи нам нужно найти площадь полной поверхности конуса, который образован из кругового сектора с радиусом $R = 6$ см и центральным углом $\alpha = 120^\circ$ . Давайте разберёмся, как это сделать шаг за шагом.

1. Понимание задачи и построение чертежа

Итак, у нас есть круговой сектор, у которого радиус $R = 6$ см, и угол сектора $\alpha = 120^\circ$ . Этот сектор свернули так, что он стал боковой поверхностью конуса. Важно понять, что радиус сектора станет образующей $l$ конуса, а дуга сектора — длиной окружности основания конуса.

Нарисуем круговой сектор и конус, который образуется после сворачивания.

Чертеж

Нарисуем круговой сектор с радиусом $R = 6$ см и центральным углом $120^\circ$ .
После сворачивания дуга окружности станет окружностью основания конуса, а радиус сектора $R$ станет образующей конуса $l$ .

2. Найдём длину дуги сектора

Для этого используем формулу длины дуги:

L = R \cdot \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi

Подставим значения:

L = 6 \cdot \frac{120^\circ}{180^\circ} \cdot \pi = 6 \cdot \frac{2}{3} \cdot \pi = 4\pi \, \text{см}

Таким образом, длина дуги сектора, которая станет длиной окружности основания конуса, равна $4\pi$ см.

3. Найдём радиус основания конуса

Длина окружности основания конуса выражается как $C = 2 \pi r$ , где $r$ — радиус основания конуса. Приравняем $C = 4\pi$ :

2 \pi r = 4 \pi

Сократим обе стороны на $\pi$ :

2r = 4

Отсюда $r = 2$ см.

4. Найдём высоту конуса

Теперь у нас есть образующая $l = 6$ см и радиус основания $r = 2$ см. Найдём высоту конуса $h$ по теореме Пифагора:

l^2 = h^2 + r^2

Подставим значения:

6^2 = h^2 + 2^2

36 = h^2 + 4

h^2 = 32

h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \, \text{см}

5. Найдём площадь полной поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса $S_{\text{полн}}$ состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

Площадь основания конуса $S_{\text{осн}}$ рассчитывается по формуле:
$S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \, \text{см}^2$
Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}}$ конуса можно найти по формуле:
$S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 2 \cdot 6 = 12\pi \, \text{см}^2$

Теперь сложим обе площади, чтобы получить полную площадь поверхности:

S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 4\pi + 12\pi = 16\pi \, \text{см}^2

Ответ

Полная площадь поверхности конуса равна $16\pi$ см², или примерно $50.27$ см².

Добавлю также чертеж, чтобы проиллюстрировать весь процесс:

Изображение конуса, сформированного из кругового сектора

На этом чертеже круговой сектор с радиусом 6 см и углом 120° превращается в конус с основанием радиуса 2 см и высотой приблизительно 5.66 см.