Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы имеет площадь 16 дм2.Диагональ основания равна 4 корня из 2.Найдите площадь сечения призмы,проходящего через диагонали двух смежных боковых граней,имеющих общую вершину

Для решения задачи начнем с анализа геометрической фигуры и связанных с ней данных.

1. Исходные данные:

   • Призма — правильная четырехугольная.
   • Боковая поверхность имеет площадь $S_{\text{бок}} = 16 \, \text{дм}^2$.
   • Диагональ основания равна $d = 4\sqrt{2} \, \text{дм}$.
   • Найти площадь сечения, проходящего через диагонали двух смежных боковых граней.

2. Шаг 1: Определим параметры основания. Основание призмы — квадрат. Диагональ квадрата выражается через сторону $a$ формулой:

   $$d = a\sqrt{2}.$$

   Подставляя $d = 4\sqrt{2}$:

   $$4\sqrt{2} = a\sqrt{2}.$$

   Делим обе стороны на $\sqrt{2}$:

   $$a = 4 \, \text{дм}.$$

3. Шаг 2: Найдем высоту призмы. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы выражается формулой:

   $$S_{\text{бок}} = P \cdot h,$$

   где $P$ — периметр основания, $h$ — высота призмы. Для квадрата $P = 4a$, поэтому:

   $$P = 4 \cdot 4 = 16 \, \text{дм}.$$

   Подставим в формулу для площади боковой поверхности:

   $$16 = 16 \cdot h.$$

   Отсюда высота:

   $$h = 1 \, \text{дм}.$$

4. Шаг 3: Определим вид и параметры сечения. Сечение проходит через диагонали двух смежных боковых граней. Боковые грани — прямоугольники со сторонами $a = 4 \, \text{дм}$ и $h = 1 \, \text{дм}$. Диагонали этих граней равны:

   $$d_{\text{граней}} = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \, \text{дм}.$$

   Сечение, проходящее через диагонали двух смежных боковых граней, является равнобедренным треугольником. Его основание — диагональ квадрата основания, равная $d = 4\sqrt{2}$, а высота совпадает с высотой призмы $h = 1 \, \text{дм}$.

5. Шаг 4: Найдем площадь сечения. Площадь треугольника вычисляется как:

   $$S_{\text{сечения}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высоту}.$$

   Подставим значения:

   $$S_{\text{сечения}} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2} \, \text{дм}^2.$$

Ответ: Площадь сечения, проходящего через диагонали двух смежных боковых граней, составляет $2\sqrt{2} \, \text{дм}^2$.