Основание прямой призмы-ромб с острым углом 30 градусов. Боковая поверхность призмы равна 96 дм в квадрате,а полная поверхность- 132.Найти высоту призмы

Для решения задачи определим основные формулы, используемые для прямой призмы.

Дано:

1. Основание прямой призмы — ромб с острым углом $30^\circ$.
2. Боковая поверхность призмы равна $96 \, \text{дм}^2$.
3. Полная поверхность призмы равна $132 \, \text{дм}^2$.

Требуется найти высоту призмы ($h$).

План решения:

1. Определить геометрические характеристики основания (ромба):

   • Площадь ромба через его диагонали: $S_{\text{ромб}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.
   • Связь диагоналей через углы ромба: $$d_1 = 2a \cos 30^\circ, \quad d_2 = 2a \sin 30^\circ,$$ где $a$ — сторона ромба, а $30^\circ$ — острый угол. Подставляя значения синуса и косинуса: $$d_1 = a \sqrt{3}, \quad d_2 = a.$$ Таким образом, площадь ромба: $$S_{\text{ромб}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{a \sqrt{3} \cdot a}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}.$$

2. Выразить полную поверхность призмы:

   • Полная поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности: $$S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}.$$ Подставляя известные данные: $$132 = 2S_{\text{осн}} + 96.$$ Выразим площадь основания: $$S_{\text{осн}} = \frac{132 - 96}{2} = 18 \, \text{дм}^2.$$

3. Найти сторону ромба ($a$):

   • Используем формулу для площади ромба: $$S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}.$$ Подставляем $S_{\text{осн}} = 18$: $$18 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}.$$ Умножим обе части на 2 и разделим на $\sqrt{3}$: $$a^2 = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12 \sqrt{3}.$$ Следовательно: $$a = \sqrt{12 \sqrt{3}} = 2 \cdot \sqrt[4]{3}.$$

4. Найти высоту призмы ($h$):

   • Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту: $$S_{\text{бок}} = P \cdot h,$$ где $P = 4a$ — периметр ромба. Подставим: $$96 = 4a \cdot h.$$ Выразим $h$: $$h = \frac{96}{4a} = \frac{96}{4 \cdot 2 \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{96}{8 \sqrt[4]{3}} = \frac{12}{\sqrt[4]{3}}.$$