Боковая поверхность прямой призмы равна 96 дм^2. Найдите высоту призмы, если её основание-ромб с высотой 4дм и острым углом 30

Чтобы найти высоту $h$ прямой призмы, если её основание — ромб с высотой 4 дм и острым углом 30°, и известна боковая поверхность, следуем следующим шагам.

Дано:

1. Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок} = 96 \, \text{дм}^2$.
2. Основание призмы — ромб, в котором высота $h_{ромба} = 4 \, \text{дм}$, а один из углов — 30°.

Шаг 1. Найдём сторону ромба

Для ромба высота и угол позволяют найти его сторону. Из геометрии ромба знаем, что высота $h_{ромба}$ и сторона $a$ связаны соотношением:

где $\alpha = 30^\circ$. Подставим значение для высоты и угла:

Значение $\sin 30^\circ = 0.5$, поэтому:

Отсюда находим $a$:

Шаг 2. Найдём площадь основания

Площадь ромба можно выразить через его стороны и синус угла между ними:

Подставим значения $a = 8$ дм и $\sin 30^\circ = 0.5$:

Шаг 3. Найдём высоту призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы выражается как произведение периметра основания на высоту призмы:

где $P$ — периметр ромба, а $h$ — высота призмы. Периметр ромба с длиной стороны $a = 8$ дм равен:

Теперь можем выразить высоту призмы:

Ответ

Высота призмы $h = 3 \, \text{дм}$.