Докажите, что трапеции, на которые разбивает данную трапецию отрезок, соединяющий середины её оснований, имеют равные площади.

Чтобы доказать, что трапеции, на которые разбивает исходная трапеция отрезок, соединяющий середины её оснований, имеют равные площади, давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Обозначения и исходные данные:
   Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AB$ и $CD$ — основания, при этом $AB > CD$, а $AD$ и $BC$ — боковые стороны. Пусть $M$ и $N$ — середины оснований $AB$ и $CD$ соответственно, и отрезок $MN$ соединяет эти середины. Отрезок $MN$ делит трапецию на две меньшие трапеции.

2. Свойства отрезка $MN$:
   Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, является срединным и параллелен основаниям $AB$ и $CD$. По теореме о срединном отрезке трапеции, длина отрезка $MN$ равна полусумме длин оснований:

   $$MN = \frac{AB + CD}{2}.$$

   Этот отрезок делит трапецию на две меньшие трапеции, одна из которых имеет основания $AB$ и $MN$, а другая — $MN$ и $CD$.

3. Площадь трапеции:
   Площадь трапеции вычисляется по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h,$$

   где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

   Площадь каждой из меньших трапеций, на которые делится исходная трапеция, можно вычислить аналогично. Для первой трапеции, основание которой $AB$ и $MN$, площадь будет:

   $$S_1 = \frac{1}{2} \cdot (AB + MN) \cdot h_1,$$

   а для второй трапеции, основание которой $MN$ и $CD$, площадь будет:

   $$S_2 = \frac{1}{2} \cdot (MN + CD) \cdot h_2.$$

4. Равенство площадей:
   Так как отрезок $MN$ — это срединный отрезок, и он делит трапецию на две части, имеющие одинаковую высоту $h_1 = h_2$, можно утверждать, что площади этих трапеций будут равны. Действительно, сумма оснований каждой из меньших трапеций включает половину общей длины оснований исходной трапеции, а высоты этих трапеций одинаковы, что приводит к равенству площадей:

   $$S_1 = S_2.$$

Таким образом, трапеции, на которые разбивает данную трапецию отрезок, соединяющий середины её оснований, имеют равные площади.