Докажите, что каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Чтобы доказать, что каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон, рассмотрим следующий геометрический подход.

Пусть дан неразвёрнутый угол $\angle ABC$, где точка $B$ — вершина угла, а лучи $BA$ и $BC$ — его стороны. Пусть $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:

Рассмотрим произвольную точку $P$ на биссектрисе $BD$. Требуется доказать, что расстояния от точки $P$ до сторон угла $BA$ и $BC$ равны. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Обозначим точки $E$ и $F$ — основания перпендикуляров из $P$ соответственно на стороны $BA$ и $BC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle PEB$ и $\triangle PFB$. Заметим:

1. $PB$ — общая сторона.

2. Углы $\angle PEB$ и $\angle PFB$ — прямые, так как это перпендикуляры.

3. Углы $\angle ABP$ и $\angle CBP$ равны, так как $BP$ — биссектриса (по определению).

Таким образом, треугольники $\triangle PEB$ и $\triangle PFB$ имеют по одному равному катету ($PB$), равные прилежащие углы при этом катете ($\angle ABP = \angle CBP$) и по одному прямому углу. Следовательно, эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (гипотенуза и острый угол).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны, в частности:

То есть расстояние от точки $P$ до стороны $BA$ равно расстоянию до стороны $BC$.

Таким образом, любая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от сторон этого угла, что и требовалось доказать.