Чему равна площадь параллелограмма?

Коротко: площадь параллелограмма — это произведение основания на соответствующую ему высоту.

Базовая формула

• $S = a \cdot h_a$
  где $a$ — длина выбранной стороны (основания), $h_a$ — высота, опущенная на эту сторону. Аналогично $S = b \cdot h_b$.

Если известны две стороны и угол между ними

• $S = ab \sin\alpha$,
  где $a$ и $b$ — длины соседних сторон, $\alpha$ — угол между ними.

Через диагонали

• $S = \tfrac12\, d_1 d_2 \sin\varphi$,
  где $d_1$ и $d_2$ — диагонали, $\varphi$ — угол между диагоналями.

Векторная форма

• Для векторов $\vec u$ и $\vec v$, образующих стороны:
  $S = \|\vec u \times \vec v\|$ (в 3D) или $S=\big|u_x v_y - u_y v_x\big|$ (в 2D).

По координатам вершин (формула «шнуровки»)

• Для вершин $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3), D(x_4,y_4)$:

Почему работает $S=a\cdot h$: если «срезать» треугольник с одного края параллелограмма и переставить его к другому, получится прямоугольник с той же площадью, длиной $a$ и высотой $h_a$.

Пример

• Пусть стороны $a=8$, $b=5$, угол $\alpha=30^\circ$. Тогда
  $S=ab\sin\alpha=8\cdot5\cdot\sin30^\circ=40\cdot0{,}5=20.$
  Высота к стороне $a$: $h_a=b\sin\alpha=5\cdot0{,}5=2{,}5$. Проверка: $a\cdot h_a=8\cdot2{,}5=20$.