Один из углов параллелограмма равен 45 градусов. Высота параллелограмма, проведённая из вершины его тупого угла, равна 4 см, делит сторону параллелограмма
на два равных отрезка. Периметр параллелограмма равен 27,4 см.
а) Найдите стороны параллелограмма.
б) Диагональ, проведённую из той же вершины, что и высота

Решение:

Дано:

• Один из углов параллелограмма $\alpha = 45^\circ$.
• Высота $h = 4 \, \text{см}$, проведённая из тупого угла, делит сторону параллелограмма на два равных отрезка.
• Периметр параллелограмма $P = 27,4 \, \text{см}$.

Требуется:

а) Найти стороны параллелограмма.
б) Найти диагональ, проведённую из вершины, из которой опущена высота.

Решение пункта (а): Найдём стороны параллелограмма

Обозначим стороны параллелограмма:

• $a$ – одна пара противоположных сторон (основание),
• $b$ – другая пара противоположных сторон.

Известно, что периметр параллелограмма равен:

Подставляем:

Разделим на 2:

Высота делит сторону $b$ пополам. Следовательно, высота, опущенная на основание $b$, пересекает его в точке, делящей $b$ на два равных отрезка. Учитывая это и угол $45^\circ$, можно использовать тригонометрию.

Используем свойства высоты:

Высота $h$ равна:

Подставим $h = 4$:

Умножим обе части на $\frac{2}{\sqrt{2}}$:

Теперь подставим значение $b = 4\sqrt{2}$ в уравнение (1):

Найдем $a$:

Примерное значение:

Следовательно:

Подставим:

Итак, стороны параллелограмма:

Решение пункта (б): Найдём диагональ

Для нахождения диагонали используем формулу:

Угол $\alpha = 45^\circ$, а $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем:

Используем найденные значения $a \approx 8,04$ и $b \approx 5,66$: