В треугольнике АВС ∠C = 45°, АВ = 5 корень из 2 см. ВС = 5 см. Найдите ∠А.

Чтобы найти угол ∠A в треугольнике ABC, где ∠C = 45°, AB = 5√2 см и BC = 5 см, можно использовать теорему косинусов. Сначала обозначим стороны:

• AB = c = 5√2 см
• BC = a = 5 см
• AC = b (неизвестно)

Согласно теореме косинусов, для любого треугольника справедливо следующее соотношение:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)$

Подставим известные значения в формулу:

1. $c^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50$
2. $a^2 = 5^2 = 25$
3. $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим эти значения в уравнение:

$50 = 25 + b^2 - 2 \cdot 5 \cdot b \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Упрощая, получаем:

$50 = 25 + b^2 - 5\sqrt{2}b$

Переносим все в одну сторону:

$b^2 - 5\sqrt{2}b + 25 - 50 = 0$

$b^2 - 5\sqrt{2}b - 25 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 50 + 100 = 150$

Теперь найдём корни уравнения:

$b = \frac{5\sqrt{2} \pm \sqrt{150}}{2} = \frac{5\sqrt{2} \pm 5\sqrt{6}}{2}$

Из этого уравнения мы можем найти значение b, но для нашей задачи это не обязательно. Теперь мы можем использовать закон синусов, чтобы найти угол A.

Согласно закону синусов:

Подставляем известные значения:

Так как $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

Теперь выразим $\sin(A)$:

Угол A, для которого $\sin(A) = \frac{1}{2}$, равен 30°.

Таким образом, мы находим, что угол ∠A равен 30°.