Точка М равноудалена от всех вершин равнобедренного прямоугольного треугольника АСВ( угол с =90 градусов) АС= ВС= 4 см. Расстояние от точки М до плоскости
треугольника равно 2 корням из 3 см. 1) Докажите что плоскость АМВ перпендикулярна плоскости АВС 2) Какой угол ВМС составляет с плоскостью АВС? 3)Найдите угол между МС и плоскостью АВС

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться свойствами прямоугольных и равнобедренных треугольников, а также знаниями геометрии в пространстве.

1. Докажем, что плоскость $АМВ$ перпендикулярна плоскости $АВС$.

Так как треугольник $АВС$ является равнобедренным прямоугольным треугольником с углом $С = 90$ градусов и $АС = ВС = 4$ см, то его высота $CH$, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $АВ$, будет равняться половине гипотенузы (свойство медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, которая равна её половине и является радиусом описанной окружности вокруг этого треугольника). Следовательно, $CH = AB/2$ и $AB = 4\sqrt{2}$ см, тогда $CH = 2\sqrt{2}$ см.

Точка $M$, равноудаленная от всех вершин треугольника $ABC$, и находящаяся на расстоянии $2\sqrt{3}$ см от плоскости треугольника, будет лежать на прямой, перпендикулярной плоскости $ABC$ и проходящей через точку $H$, которая является центром описанной окружности вокруг $ABC$. Это значит, что плоскость $AMB$, содержащая эту прямую, будет перпендикулярна плоскости $ABC$, так как перпендикуляр к плоскости в одной точке означает перпендикулярность во всех точках прямой.

2. Угол $ВМС$ с плоскостью $АВС$.

Угол $ВМС$ с плоскостью $АВС$ будет прямым (90 градусов), так как по условию точка $M$ равноудалена от всех вершин треугольника и находится на расстоянии от плоскости, что означает, что $M$ лежит на прямой, перпендикулярной плоскости $ABC$, проходящей через точку $H$.

3. Угол между $МС$ и плоскостью $АВС$.

Для нахождения угла между прямой $МС$ и плоскостью $АВС$, необходимо рассмотреть треугольник $МСН$, где $Н$ - проекция точки $М$ на плоскость $АВС$, совпадающая с точкой $H$. В этом треугольнике угол $МНС$ будет искомым углом между прямой $МС$ и плоскостью $АВС$.

Из условия известно, что $MH = 2\sqrt{3}$ см. $CH$ мы находили как $2\sqrt{2}$ см. Треугольник $MHC$ прямоугольный с прямым углом $H$, поэтому используя теорему Пифагора, можно найти $MC$ как гипотенузу этого треугольника.

$MC = \sqrt{MH^2 + CH^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{12 + 8} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Теперь, используя определение косинуса в треугольнике $MHC$ (где косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе), найдем косинус угла $МНС$ (то есть угла между $МС$ и плоскостью $АВС$):

$\cos(MHC) = \frac{CH}{MC} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Следовательно, угол $МНС$ (угол между $МС$ и плоскостью $АВС$) будет арккосинусом найденного значения.