Боковые ребра треугольной пирамиды равны 3 см, 4 см и 5 см и взаимно перпендикулярны. Найдите объём пирамиды.

Рассмотрим вершину пирамиды как начало координат $O(0,0,0)$, а три боковые ребра, попарно перпендикулярные и равные $3$, $4$ и $5$ см, направим вдоль осей координат к точкам
$A(3,0,0)$, $B(0,4,0)$, $C(0,0,5)$.

Объём тетраэдра $OABC$ равен одной шестой смешанного произведения векторов $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$:

Иначе: это «прямоугольный» тетраэдр, и для него верна формула $V=\frac{abc}{6}$, где $a,b,c$ — взаимно перпендикулярные рёбра, исходящие из одной вершины. Здесь $a=3$, $b=4$, $c=5$, значит $V=10\ \text{см}^3$.