От треугольной пирамиды, объем которой равен 40, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсеченной треугольной пирамиды?

Для решения задачи разберемся с геометрической ситуацией и применим свойства подобных фигур.

1. Изначальная пирамида: Треугольная пирамида имеет объем $V = 40$. Пирамида — это тело, у которого основание — треугольник, а вершина расположена вне плоскости основания.

2. Плоскость, проходящая через вершину и среднюю линию основания: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Поскольку плоскость проходит через вершину пирамиды и среднюю линию основания, она делит исходное основание на две части, причем одна из этих частей представляет собой треугольник, подобный исходному основанию. Этот треугольник имеет стороны, равные половине сторон исходного основания (так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника и равна ее половине).

3. Подобие отсеченной пирамиды: Отсеченная треугольная пирамида имеет основание, подобное основанию исходной пирамиды, с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. Высота отсеченной пирамиды будет также уменьшена в $k$ раз, потому что плоскость проходит через вершину пирамиды, сохраняя пропорции высоты.

4. Соотношение объемов: Объем подобных пирамид пропорционален кубу коэффициента подобия. Если коэффициент подобия между основаниями $k = \frac{1}{2}$, то отношение объемов отсеченной пирамиды и исходной определяется как:

   $$\frac{V_{\text{отсеченной}}}{V_{\text{исходной}}} = k^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}.$$

5. Объем отсеченной пирамиды: Зная, что объем исходной пирамиды $V = 40$, объем отсеченной пирамиды составляет:

   $$V_{\text{отсеченной}} = V_{\text{исходной}} \cdot \frac{1}{8} = 40 \cdot \frac{1}{8} = 5.$$

Ответ: Объем отсеченной треугольной пирамиды равен 5.