Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а основание — 12 см. Точка M удалена от каждой его стороны на 5 см. Найти расстояние от точки M до плоскости треугольника. Найти площадь круга, вписанного в треугольник.

Решение.

1. Сначала разберём сам треугольник. Он равнобедренный: боковые стороны по 10, основание 12. Полупериметр
   $s=\frac{10+10+12}{2}=16$.

Высота к основанию:

Площадь треугольника

Отсюда радиус вписанной окружности:

2. Теперь о точке $M$. Её расстояние до каждой стороны равно 5 см. Пусть $P$ — ортогональная проекция $M$ на плоскость треугольника, а $h$ — расстояние от $M$ до плоскости треугольника. Тогда расстояние от $M$ до любой стороны равно

Так как эти расстояния ко всем трём сторонам одинаковы, проекция $P$ равноудалена от всех сторон, то есть $P$ — центр вписанной окружности, а расстояние от $P$ до каждой стороны равно $r$.

Получаем уравнение

3. Площадь круга, вписанного в треугольник:

Ответ: расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника равно $4$ см; площадь вписанного круга равна $9\pi$ см².