В правильной четырёхугольной пирамиде диагональ основания равна 10, а боковое ребро 13. Найдите объём пирамиды.

Диагональ основания равна 10, значит основание — квадрат со стороной
$a=\dfrac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$. Тогда площадь основания:

В правильной пирамиде вершина лежит над центром квадрата. Рассмотрим треугольник, составленный из бокового ребра, высоты пирамиды $h$ и отрезка от центра основания до вершины квадрата. Этот отрезок — радиус описанной окружности квадрата:

По теореме Пифагора для бокового ребра $l=13$:

Объём пирамиды:

Ответ: $200$.