Сечение, перпендикулярное диаметру шара, делит этот диаметр в отношении 1 : 3. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого от шара, если площадь поверхности шара равна 144 π.

Давай решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1. Найдем радиус шара

Для начала известно, что площадь поверхности шара равна $144 \pi$. Формула площади поверхности шара задается как:

где $R$ — радиус шара.

Подставляем данное значение площади:

Упрощаем уравнение, деля обе части на $\pi$:

Разделим обе части на 4:

Теперь возьмем квадратный корень:

Итак, радиус шара равен $6$.

Шаг 2. Определим положение сечения

Сечение делит диаметр шара в отношении $1:3$. Диаметр шара равен $2R = 12$. Это значит, что длина части диаметра от центра шара до плоскости сечения равна $\frac{12}{1+3} = 3$.

Следовательно, расстояние от центра шара до плоскости сечения равно $3$ (это высота шарового сегмента, которая находится от центра до плоскости сечения).

Шаг 3. Формула объема шарового сегмента

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:

где $h$ — высота сегмента, а $R$ — радиус шара.

В нашей задаче $h = 3$ и $R = 6$. Подставим эти значения в формулу:

Выполним вычисления:

Ответ:

Объем меньшего шарового сегмента равен $45 \pi$.