(Б) Две пары противоположных сторон шестиугольника соответственно параллельны и равны. Докажите, что третья пара его противоположных сторон обладает тем же свойством. Заранее спасибо!!!​ 20 баллов.

Для доказательства того, что третья пара противоположных сторон шестиугольника также параллельна и равна, мы можем использовать свойства параллелограмма и провести анализ на основе симметрии и равенства сторон.

Шаги решения:

1. Рассмотрим заданный шестиугольник: Пусть шестиугольник обозначен как $ABCDEF$, где пары противоположных сторон $AB$ и $DE$, а также $BC$ и $EF$ параллельны и равны. Это значит:

   • $AB \parallel DE$ и $AB = DE$
   • $BC \parallel EF$ и $BC = EF$

2. Рассмотрим срединные точки сторон: Возьмем диагонали $AD$, $BE$ и $CF$ — такие диагонали будут пересекаться в одной точке (по свойствам шестиугольника с параллельными и равными противоположными сторонами). Точка пересечения этих диагоналей будет центром симметрии нашего шестиугольника.

3. Преобразование шестиугольника к параллелограмму: Если рассмотреть только одну из пар противоположных сторон, например, $AB$ и $DE$, и провести через них диагональ $AD$, то стороны $AB$ и $DE$ будут параллельны и равны, как в параллелограмме. Аналогично, если рассмотреть $BC$ и $EF$ с диагональю $BE$, то также получаем фигуру с параллельными и равными противоположными сторонами.

4. Симметрия в шестиугольнике: Поскольку две пары противоположных сторон параллельны и равны, шестиугольник обладает центральной симметрией относительно точки пересечения диагоналей $AD$, $BE$ и $CF$. Это свойство гарантирует, что третья пара противоположных сторон $CD$ и $FA$ тоже будет параллельной и равной. Ведь если бы третья пара не была параллельной и равной, симметрия нарушилась бы, что противоречит нашим условиям.

5. Заключение: Таким образом, по свойствам центральной симметрии и параллелограммов мы приходим к выводу, что третья пара противоположных сторон $CD$ и $FA$ также параллельна и равна.

Итак, доказано, что если две пары противоположных сторон шестиугольника параллельны и равны, то третья пара также будет параллельной и равной.