В треугольнике АВС АВ=ВС=18, угол АВС=120 градусов, ВК-биссектриса. Найдите длину ВК.

Чтобы найти длину биссектрисы $BK$ в треугольнике $ABC$, где $AB = BC = 18$ и угол $\angle ABC = 120^\circ$, можно воспользоваться формулой длины биссектрисы. Разберём задачу пошагово.

1. Основные параметры треугольника

• $AB = BC = 18$ — равнобедренный треугольник.
• Угол $\angle ABC = 120^\circ$.
• $BK$ — биссектриса, делит угол $\angle ABC$ пополам, то есть: $$\angle ABK = \angle CBK = 60^\circ.$$

2. Формула для длины биссектрисы

Формула для длины биссектрисы из вершины $B$ в треугольнике выглядит так:

Для применения формулы нужно найти:

• $AC$ — длину основания $AC$.

3. Поиск длины основания $AC$

Треугольник равнобедренный с углом $\angle ABC = 120^\circ$. Длину $AC$ можно найти по теореме косинусов:

Так как $AB = BC = 18$ и $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, подставляем значения:

4. Подстановка в формулу длины биссектрисы

Теперь подставляем найденное $AC$ в формулу для длины биссектрисы:

Так как $AB = BC = 18$, а $AC = 18\sqrt{3}$, то $AB + BC = 36$, и:

Расчитаем $\frac{(18\sqrt{3})^2}{36^2}$:

Теперь подставляем обратно: