В равнобедренной трапеции тупой угол равен 135 градусов, а высота в 3 раза меньше большего основания. Найти площадь трапеции, если меньшее основание равно 6 см.

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, давайте сначала рассмотрим все данные и используем их для вычислений.

1. Обозначим элементы трапеции:

   • Пусть меньшее основание трапеции — $a = 6$ см.

   • Пусть большее основание — $b$ см.

   • Высота трапеции — $h$.

   • Мы знаем, что высота в 3 раза меньше большего основания, то есть $h = \frac{b}{3}$.

2. Определим угол наклона боковой стороны:
   Углы при основании равнобедренной трапеции равны. Поскольку один из углов равен 135 градусов, другой угол при большем основании будет 135 градусов. Эти углы — тупые, и угол между боковой стороной и основанием можно найти как $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

3. Используем тригонометрию для нахождения боковой стороны:
   В равнобедренной трапеции боковая сторона одинаковая с обеих сторон. Чтобы найти длину боковой стороны, используем тригонометрию. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется при проведении высоты. Известны:

   • угол между боковой стороной и основанием — $45^\circ$,

   • высота — $h = \frac{b}{3}$.

   Через тангенс угла можно выразить длину отрезка, который мы назовем $x$ — это половина разницы между большими и меньшими основаниями:

   $$\tan(45^\circ) = \frac{h}{x} = \frac{\frac{b}{3}}{x}.$$

   Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:

   $$\frac{b}{3} = x.$$

   Таким образом, $x = \frac{b}{3}$.

4. Используем информацию о боковой стороне:
   Теперь, чтобы найти длину боковой стороны, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Мы знаем, что гипотенуза этого прямоугольного треугольника (боковая сторона трапеции) и катеты $x$ и $h$ связаны между собой:

   $$\text{Боковая сторона} = \sqrt{x^2 + h^2}.$$

   Подставляем $x = \frac{b}{3}$ и $h = \frac{b}{3}$:

   $$\text{Боковая сторона} = \sqrt{\left(\frac{b}{3}\right)^2 + \left(\frac{b}{3}\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \left(\frac{b}{3}\right)^2} = \frac{b}{3} \sqrt{2}.$$

5. Уравнение для большего основания:
   Теперь, зная, что боковая сторона трапеции равна $\frac{b}{3} \sqrt{2}$, можем использовать теорему о равнобедренной трапеции. Разница между основаниями равна удвоенной длине проекции боковой стороны на большее основание. То есть:

   $$b - a = 2 \cdot \frac{b}{3} \sqrt{2}.$$

   Подставляем $a = 6$:

   $$b - 6 = 2 \cdot \frac{b}{3} \sqrt{2}.$$

   Умножаем обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

   $$3(b - 6) = 2b \sqrt{2}.$$

   Раскрываем скобки:

   $$3b - 18 = 2b \sqrt{2}.$$

   Переносим все слагаемые с $b$ в одну сторону:

   $$3b - 2b \sqrt{2} = 18.$$

   Вынесем $b$ за скобки:

   $$b(3 - 2\sqrt{2}) = 18.$$

   Теперь выразим $b$:

   $$b = \frac{18}{3 - 2\sqrt{2}}.$$