Могут ли параллельные прямые быть скрещивающимися, а скрещивающиеся — параллельными? Ответ обоснуйте.

Коротко: нет и нет.

Обоснование.

1. Параллельные прямые по определению либо совпадают, либо лежат в одной плоскости и не пересекаются. Ключевое слово — соплоскостность: через две параллельные прямые всегда можно провести общую плоскость (фактически эта плоскость единственна, если прямые не совпадают).

2. Скрещивающиеся прямые — это две прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Их определяющий признак — несоплоскостность.

Эти два свойства взаимоисключающие:

• если прямые параллельны, то они обязательно соплоскостны, следовательно, скрещивающимися быть не могут;

• если прямые скрещиваются, то они несоплоскостны, следовательно, параллельными быть не могут.

Формально: допустим, две прямые $a$ и $b$ параллельны. Тогда существует плоскость $\Pi$, содержащая $a$ и $b$. Но скрещивающиеся прямые никакой общей плоскости не имеют — противоречие. Аналогично, если бы скрещивающиеся $a$ и $b$ были параллельны, они должны были бы быть соплоскостны — снова противоречие.

Итог: параллельные и скрещивающиеся прямые — разные, несовместимые типы взаимного расположения в пространстве.