1.Известно, что точки А,В,С,D не лежат в одной плоскости. Определите могут ли прямые АВ и СD быть: а. Параллельными
б. Пересекаться
с. Быть скрещивающимися
Ответы подтвердите соответствующими теоретическими фактами.
2.Даны пересекающиеся прямые а и б и прямая с, параллельная а, но не пересекающая б. Докажите, что б и с скрещивающиеся прямые.
3.Квадрат АВСD и трапеция BEFC (DC и EF - основания) на лежат в одной плоскости. Очки М и N - середины отрезков ВЕ и FC соответственно.
а) докажите, что MN||AD
б) найдите MN, если АВ=8см, EF=4см

Давайте разберем каждый из этих вопросов по очереди.

1. Положение прямых АВ и СD

   • а) Параллельность: Прямые АВ и СD могут быть параллельными. В трехмерном пространстве, если две прямые не имеют общих точек и при этом расположены так, что расстояние между ними постоянно, то они параллельны. Важно, что для параллельности прямые не обязательно должны лежать в одной плоскости.
   • б) Пересечение: Прямые могут пересекаться. Если они лежат в одной плоскости (что возможно даже если точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости), и при этом они не параллельны, то они будут пересекаться.
   • в) Скрещивание: Прямые АВ и СD могут быть скрещивающимися. Это означает, что они не пересекаются и не параллельны, при этом они расположены в разных плоскостях.

2. Пересекающиеся прямые a и b, и прямая c, параллельная a

   • Здесь мы должны доказать, что b и c скрещиваются. Поскольку c параллельна a и не пересекает b, это означает, что c лежит в плоскости, параллельной плоскости, содержащей a и b. В этом случае прямые b и c не могут пересекаться, так как они находятся в разных плоскостях. Это и делает их скрещивающимися прямыми.

3. Квадрат ABCD и трапеция BEFC

   • а) Доказательство MN||AD:
     • Точки M и N являются серединами BE и FC соответственно.
     • Поскольку квадрат ABCD и трапеция BEFC не лежат в одной плоскости, а отрезки BE и FC параллельны основаниям квадрата (по условию задачи), отрезок MN, соединяющий середины этих отрезков, будет параллелен AD.
   • б) Нахождение MN:
     • Для нахождения MN можно использовать свойство средней линии трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
     • В данном случае, MN является средней линией трапеции BEFC. Так как DC = AB (поскольку ABCD - квадрат) и равно 8 см, а EF = 4 см, то MN = (DC + EF) / 2 = (8 см + 4 см) / 2 = 6 см.

Таким образом, мы доказали, что MN параллелен AD и нашли его длину, равную 6 см.