Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника AOB, если угол CAD = 30 градусов, АС = 12 см.

Для решения задачи используем геометрические свойства прямоугольника и свойства его диагоналей.

1. Прямоугольник и диагонали:
   Пусть прямоугольник ABCD. Диагонали этого прямоугольника пересекаются в точке О и делят его пополам. Это свойство прямоугольника, так как диагонали прямоугольника равны между собой и пересекаются в середине.

2. Угол CAD:
   У нас задан угол CAD = 30°. Этот угол является углом между одной из сторон прямоугольника (в данном случае, стороной AD) и диагональю AC. Диагональ AC делит угол на два равных угла, так как прямоугольник симметричен относительно своих диагоналей.

3. Длина диагонали AC:
   Длина диагонали AC дана как 12 см. Поскольку в прямоугольнике диагонали равны, длина диагонали BD также будет равна 12 см.

4. Площадь треугольника AOB:
   Поскольку диагонали пересекаются в точке О и делят прямоугольник пополам, треугольник AOB является прямоугольным. Отрезки AO и BO равны половинам диагонали, то есть каждый из них равен $\frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

5. Периметр треугольника AOB:
   Треугольник AOB — это прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза AB является стороной прямоугольника, а катеты — отрезками AO и BO, равными по 6 см.

   Для нахождения длины гипотенузы AB используем теорему Пифагора:

   $$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \, \text{см}.$$

6. Расчет периметра:
   Периметр треугольника AOB равен сумме длин всех его сторон:

   $$P = AO + BO + AB = 6 + 6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2} \, \text{см}.$$

Ответ: Периметр треугольника AOB равен $12 + 6\sqrt{2}$ см.