Ребро куба равно 4 см. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух смежных граней куба.

Для того чтобы найти площадь сечения куба, проходящего через диагонали двух смежных граней, давайте разобьем задачу на несколько шагов.

1. Рассмотрим куб с ребром 4 см. Пусть куб расположен так, что его ребра параллельны осям координат. Тогда его вершины будут иметь координаты вида (0,0,0), (4,0,0), (4,4,0), (0,4,0), (0,0,4), (4,0,4), (4,4,4) и (0,4,4).

2. Сечение через диагонали двух смежных граней.
   Возьмем, например, две смежные грани, которые имеют общую сторону. Пусть это будут грани с координатами (0, 0, 0) — (4, 0, 0) — (4, 4, 0) — (0, 4, 0) и (0, 0, 0) — (4, 0, 0) — (4, 0, 4) — (0, 0, 4). На этих гранях проходят диагонали, которые соединяют противоположные вершины.

3. Уравнение сечения.
   Мы будем рассматривать плоскость, проходящую через диагонали этих граней. Диагонали первой грани (0, 0, 0) — (4, 4, 0) и второй грани (0, 0, 0) — (4, 0, 4). Диагонали пересекаются в точке (2, 2, 0), которая лежит на одной из граней, и их уравнения можно найти, используя параметрическое представление отрезков. Это сечение будет плоскостью, которая соединяет эти диагонали.

4. Площадь сечения.
   Площадь сечения можно найти, заметив, что оно представляет собой прямоугольный треугольник, где катеты являются диагоналями смежных граней. Длина диагонали грани, которая имеет сторону 4 см, будет вычисляться по формуле:

   $$d = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см}.$$

   Таким образом, оба катета этого треугольника имеют длину 4√2 см.

5. Площадь треугольника.
   Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,$$

   где $a$ и $b$ — длины катетов. Подставим значения:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot 2 = 16 \text{ см}^2.$$

Таким образом, площадь сечения, проходящего через диагонали двух смежных граней куба, равна 16 см².