Как найти периметр треугольника, если известна одна сторона и все углы?

Коротко: используйте теорему синусов.

Пусть известна сторона $a$, лежащая напротив угла $A$; остальные углы — $B$ и $C$ (и $A+B+C=180^\circ$). По теореме синусов:

откуда

Тогда периметр

Это и есть искомая формула. Раз углы $A,B,C$ все известны, то $\sin B$ и $\sin C$ легко посчитать. При желании можно воспользоваться тождеством

и тогда

Эквивалентная запись через радиус описанной окружности $R$: сначала найдите $R=\dfrac{a}{2\sin A}$, затем

Пример. Пусть $a=10$, $A=40^\circ$, $B=70^\circ$, $C=70^\circ$.

Условия корректности: углы положительны и в сумме дают $180^\circ$. Если работаете в радианах — используйте те же формулы, только с аргументами в радианах.