Найдите: 1) sin a, если cos a = 1/3
2) cos a, если sin a = 1/4 и 0° ≤ a ≤ 90°
3) cos a, если sin a = 1/9

Для решения заданных задач мы будем использовать тригонометрические соотношения и теорему Пифагора.

1) Найдите sin a, если cos a = 1/3.

Согласно основной тригонометрической тождественности, для любого угла a выполняется следующее равенство:

$\sin^2 a + \cos^2 a = 1.$

Зная, что $\cos a = \frac{1}{3}$, подставим это значение в тождество:

$\sin^2 a + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1.$

Вычислим квадрат косинуса:

$\sin^2 a + \frac{1}{9} = 1.$

Теперь решим уравнение для $\sin^2 a$:

$\sin^2 a = 1 - \frac{1}{9}.$

Чтобы вычесть дроби, приведем 1 к общему знаменателю:

$1 = \frac{9}{9},$

поэтому:

$\sin^2 a = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.$

Теперь найдем $\sin a$:

$\sin a = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$

Итак, $\sin a = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

2) Найдите cos a, если sin a = 1/4 и 0° ≤ a ≤ 90°.

Опять же, воспользуемся основной тригонометрической тождественностью:

$\sin^2 a + \cos^2 a = 1.$

Подставим известное значение:

$\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2 a = 1.$

Посчитаем квадрат синуса:

$\frac{1}{16} + \cos^2 a = 1.$

Решим для $\cos^2 a$:

$\cos^2 a = 1 - \frac{1}{16}.$

Приведем 1 к общему знаменателю:

$1 = \frac{16}{16},$

поэтому:

$\cos^2 a = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}.$

Теперь находим $\cos a$:

$\cos a = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}.$

Так как $0° \leq a \leq 90°$, мы берем положительное значение, и $\cos a = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

3) Найдите cos a, если sin a = 1/9.

Снова воспользуемся основной тригонометрической тождественностью:

$\sin^2 a + \cos^2 a = 1.$

Подставим значение синуса:

$\left(\frac{1}{9}\right)^2 + \cos^2 a = 1.$