Б13 Объясните, как построить биссектрису данного угла. Доказать, что медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой. Б14 Высота (построение высоты в остроугольном, тупоугольном, прямоугольном треугольнике). Объясните, как построить треугольник по трём сторонам. Всегда ли это имеет решение. Б15 Прямоугольный треугольник (определение), катет, гипотенуза, свойство прямоугольного треугольника. Доказать, что если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Б13. Построение биссектрисы угла и доказательство свойств медианы в равнобедренном треугольнике

Для того чтобы построить биссектрису угла, нужно выполнить следующие шаги:

1. Начертить угол с вершиной в точке $O$.

2. С помощью циркуля отложить одинаковые отрезки на обеих сторонах угла, используя одну и ту же длину радиуса.

3. С центра на обеих сторонах угла провести дуги, которые пересекаются.

4. Соединить точку пересечения дуг с вершиной угла. Это и будет биссектрисой, которая делит угол пополам.

Теперь о доказательстве того, что медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой:

1. Пусть у нас есть равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = AC$, и медиана $BM$ проводится к основанию $AC$, пересекая его в точке $M$.

2. Так как треугольник равнобедренный, то медиана $BM$ делит основание пополам, то есть $AM = MC$.

3. Треугольники $ABM$ и $ACM$ являются равными по гипотенузе $AB = AC$ и по одному катету $AM = MC$.

4. Следовательно, углы $\angle ABM = \angle ACM$, а это означает, что $BM$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

5. Кроме того, медиана, проходя через центр основания, перпендикулярна этому основанию, то есть $BM$ является высотой треугольника.

Таким образом, медиана в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, действительно является и высотой, и биссектрисой.

Б14. Построение высоты в треугольнике

Для построения высоты треугольника нужно выполнить следующие шаги:

1. Для остроугольного треугольника высота строится как перпендикуляр от вершины к противоположной стороне (или её продолжению). Для этого можно использовать циркуль и линейку:

   • Проводим прямую через вершину, которая перпендикулярна противоположной стороне.

   • Определяем точку пересечения этой прямой с основанием, это и будет точка на высоте.

2. Для тупоугольного треугольника высота также строится как перпендикуляр от вершины, но если эта высота выходит за пределы треугольника, то её нужно продолжить за основание.

3. Для прямоугольного треугольника одна из высот совпадает с катетом, так как угол при основании прямой равен 90°.

Построение треугольника по трём сторонам:

Треугольник можно построить по трём сторонам, если выполняется неравенство треугольника, которое утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Это условие всегда имеет решение, если оно выполняется для всех трёх сторон. В противном случае, треугольник построить нельзя.

Б15. Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен 90°. В этом треугольнике одна из сторон называется гипотенузой, и она является самой длинной стороной, противоположной прямому углу. Две другие стороны называются катетами.

Свойства прямоугольного треугольника:

• Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.

• В прямоугольном треугольнике всегда выполняется соотношение между углами: если один угол прямой, то два других — острые и их сумма всегда равна 90°.

Доказательство того, что если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу:

Если две прямые параллельны третьей, это означает, что они имеют одинаковое направление, то есть они не пересекаются и не изменяют углы между собой относительно третьей прямой. Таким образом, эти две прямые обязательно будут параллельны друг другу, поскольку в геометрии параллельность определяется отсутствием пересечений и одинаковыми углами между прямыми.