В треугольнике ABC AB = BC, BM — медиана, угол ABC = 110 градусов. Найдите угол ABM. Нужно решение и доказательство.

Для решения задачи рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = BC$, а $BM$ — медиана, проведенная из вершины $B$ на сторону $AC$. Угол $\angle ABC = 110^\circ$.

1. Определение углов в треугольнике:
   В треугольнике $ABC$ у нас равные стороны $AB$ и $BC$, следовательно, углы при этих сторонах также равны. То есть:

   $$\angle BAC = \angle BCA.$$

   Обозначим эти углы через $x$, то есть $\angle BAC = \angle BCA = x$.

2. Вычислим угол $\angle ABC$:
   Сумма всех углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, мы можем выразить угол $\angle ABC$ через $x$:

   $$\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ.$$

   Подставим известные значения:

   $$110^\circ + x + x = 180^\circ.$$

   Упростим уравнение:

   $$110^\circ + 2x = 180^\circ,$$ $$2x = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ,$$ $$x = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ.$$

   Таким образом, $\angle BAC = \angle BCA = 35^\circ$.

3. Рассмотрим медиану $BM$:
   Поскольку $BM$ — медиана, то она делит сторону $AC$ пополам. Вследствие симметрии треугольника, медиана также будет являться биссектрисой угла $\angle ABC$. Таким образом, угол $\angle ABM$ будет равен половине угла $\angle ABC$.

4. Вычислим угол $\angle ABM$:
   Мы знаем, что $\angle ABC = 110^\circ$, и $BM$ является биссектрисой, значит:

   $$\angle ABM = \frac{1}{2} \times \angle ABC = \frac{1}{2} \times 110^\circ = 55^\circ.$$

Ответ: угол $\angle ABM$ равен $55^\circ$.