Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как 2:3:7. Найдите больший угол треугольника ABC.

Для того чтобы решить задачу, давайте разберемся, как найти больший угол треугольника ABC, если точки A, B и C лежат на окружности, и дуги, которые они образуют, имеют отношения 2:3:7.

1. Обозначим углы дуг:
   Пусть угол между дугами, делящими окружность на части в пропорции 2:3:7, будет равен:

   • Дуга AB = 2x,

   • Дуга BC = 3x,

   • Дуга CA = 7x.

2. Найдем полный угол окружности:
   Площадь всей окружности равна 360°. Сумма всех дуг окружности должна равняться 360°. То есть:

   $$2x + 3x + 7x = 360°$$ $$12x = 360°$$ $$x = 30°.$$

3. Находим градусные меры дуг:
   Теперь, зная, что x = 30°, можем найти величины всех дуг:

   • Дуга AB = 2x = 2 * 30° = 60°,

   • Дуга BC = 3x = 3 * 30° = 90°,

   • Дуга CA = 7x = 7 * 30° = 210°.

4. Найдем углы треугольника ABC:
   Угол треугольника, заключенный между двумя сторонами, равен половине градусной меры соответствующей дуги (по теореме о центральном угле). То есть:

   • Угол при вершине A, который опирается на дугу BC, равен половине дуги BC: $\frac{90°}{2} = 45°$,

   • Угол при вершине B, который опирается на дугу CA, равен половине дуги CA: $\frac{210°}{2} = 105°$,

   • Угол при вершине C, который опирается на дугу AB, равен половине дуги AB: $\frac{60°}{2} = 30°$.

5. Больший угол:
   Таким образом, углы треугольника ABC равны 45°, 105° и 30°. Больший угол в треугольнике ABC — это угол 105°.

Ответ: больший угол треугольника ABC равен 105°.