Площадь треугольника ABC равна 12, угол B тупой, медиана BD равна 3. Найдите AC, если угол ABD — прямой.

Для решения задачи будем использовать теорему о медиане, а также свойство прямоугольных треугольников.

1. Из условия известно, что треугольник ABC имеет площадь 12 и медиану BD, равную 3. Также угол ABD прямой, то есть треугольник ABD — прямоугольный.

2. Рассмотрим треугольник ABD. Площадь треугольника можно выразить через его основание и высоту. Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания AC на высоту, опущенную из вершины B, которая проходит через точку D (медиану). Площадь треугольника ABD также можно выразить как половину произведения основания AD и высоты BD. Но известно, что площадь треугольника ABC равна 12, и она состоит из двух частей: площади треугольника ABD и площади треугольника BCD.

3. Так как угол ABD прямой, мы можем применить теорему Пифагора для треугольника ABD:

   $$AB^2 + BD^2 = AD^2.$$

4. Сначала найдем длину стороны AB. Площадь треугольника ABC через его основание AC и высоту h (проведенную из вершины B) можно выразить как:

   $$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = 12 \quad \Rightarrow \quad AC \cdot h = 24.$$

   Теперь используем медиану BD. Она делит треугольник на два меньших треугольника. Мы можем рассмотреть треугольник ABD как прямоугольный, с помощью теоремы Пифагора получить расстояние AC.