Найдите объем правильной четырехугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен √8, а высота равна 7.

Чтобы найти объем правильной четырехугольной призмы, вписанной в цилиндр, нужно учитывать несколько моментов.

1. Радиус основания цилиндра: Радиус основания цилиндра равен $r = \sqrt{8}$. Таким образом, диаметр основания цилиндра $D = 2r = 2\sqrt{8}$.

2. Площадь основания четырехугольной призмы: Правильная четырехугольная призма, вписанная в цилиндр, имеет квадратное основание. Диагональ этого квадрата будет равна диаметру основания цилиндра, то есть $D = 2\sqrt{8}$. Для квадрата, диагональ которого равна $D$, сторона $a$ вычисляется по формуле:

   $$a = \frac{D}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{4} = 4.$$

   Таким образом, сторона квадрата основания равна 4.

3. Площадь основания призмы: Площадь основания квадрата вычисляется по формуле:

   $$S = a^2 = 4^2 = 16.$$

4. Высота цилиндра и призмы: Высота цилиндра (и, соответственно, высота призмы) равна 7.

5. Объем правильной четырехугольной призмы: Объем призмы можно найти по формуле:

   $$V = S \times h,$$

   где $S$ — площадь основания, а $h$ — высота. Подставляем известные значения:

   $$V = 16 \times 7 = 112.$$

Ответ: объем правильной четырехугольной призмы, вписанной в цилиндр, равен 112 кубических единиц.