Решите задачу. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB=12, tgA=3. Найдите AH.

Давай разберём задачу шаг за шагом.

Дано:

• $\triangle ABC$ с прямым углом $C = 90°$

• $CH$ — высота из $C$ на гипотенузу $AB$

• $AB = 12$

• $\tan A = 3$

• Нужно найти $AH$

Шаг 1: Связь сторон через угол

Обозначим стороны треугольника:

• $AC = b$ (против угла $B$)

• $BC = a$ (против угла $A$)

• $AB = c = 12$ — гипотенуза

Так как $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b} = 3$, получаем:

Шаг 2: Используем теорему Пифагора

В прямоугольном треугольнике:

Подставим $a = 3b$ и $c = 12$:

Тогда $a = 3b = 11.384$ (округлим до 11.4).

Шаг 3: Связь высоты с гипотенузой

Высота $CH$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AH$ и $HB$.
Для прямоугольного треугольника справедливо соотношение:

Почему? Это следует из свойства подобных треугольников, образованных высотой на гипотенузу.

• $AC = b = 3.7947$

• $AB = 12$

Тогда:

✅ Ответ:

Это точное значение без округлений в конце.