В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12, а высота равна \(10\sqrt{3}\). Найдите тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания.

В правильной треугольной пирамиде вершина $S$ проектируется в центр основания $O$, а основание — равносторонний треугольник со стороной $a=12$. Высота пирамиды:

Ищем угол наклона боковой грани к плоскости основания — это двугранный угол между боковой гранью и основанием (например, вдоль ребра основания $AB$).

Шаг 1. Выберем сечение, в котором этот угол виден как обычный плоский.

Возьмём ребро основания $AB$. Рассмотрим плоскость, которая:

• проходит через вершину $S$,

• проходит через середину $M$ ребра $AB$,

• перпендикулярна ребру $AB$.

Тогда:

• в плоскости основания линия, перпендикулярная $AB$ и проходящая через $M$, — это $MO$ (поскольку $O$ — центр равностороннего треугольника, а $OM$ попадает на перпендикуляр к стороне через её середину);

• в боковой грани $SAB$ линия, перпендикулярная $AB$ и проходящая через $M$, — это $MS$ (в равнобедренном треугольнике $SAB$ медиана к основанию $AB$ является высотой).

Значит, искомый угол наклона боковой грани к основанию равен углу между прямыми $MS$ и $MO$, то есть $\angle SMO$.

Шаг 2. Найдём $OM$.

В равностороннем треугольнике расстояние от центра до стороны — это радиус вписанной окружности:

Здесь $a=12$, значит

Шаг 3. Рассмотрим треугольник $SOM$.

Так как $SO$ — высота пирамиды, то $SO \perp$ плоскости основания, а значит $SO \perp OM$. Следовательно, треугольник $SOM$ прямоугольный (прямой угол при $O$).

В этом треугольнике угол $\angle SMO$ — как раз угол наклона боковой грани к основанию, и

Подставляем:

Ответ: $\boxed{5}$.