Тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 5. Найдите тангенс угла между плоскостью боковой грани этой пирамиды и плоскостью ее основания .

Давайте подробно разберем задачу.

Условие:

Дана правильная треугольная пирамида. Тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания равен 5. Требуется найти тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.

Обозначения:

1. Правильная треугольная пирамида имеет треугольное основание, все стороны которого равны, и все боковые ребра равны между собой.
2. Обозначим:
   • $S$ — вершина пирамиды.
   • $ABC$ — основание пирамиды (правильный треугольник).
   • Высота пирамиды, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания, пересекает центр описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $O$.

Первый этап: Используем данные о тангенсе угла между боковым ребром и плоскостью основания.

Тангенс угла между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания — это отношение высоты пирамиды $SO$ к расстоянию от основания $A$ до проекции вершины $O$:

где $\tan \alpha = 5$, значит:

Второй этап: Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.

Чтобы найти тангенс угла между плоскостью боковой грани $SAB$ и плоскостью основания $ABC$, воспользуемся следующим фактом:

Этот угол равен углу между высотой боковой грани $SH$ (опущенной из вершины $S$ на прямую $AB$) и плоскостью основания.

Найдем $SH$:

Высота $SH$ в треугольнике $SAB$ относится к основанию $AB$ следующим образом:

• Точка $H$ — это проекция вершины $S$ на прямую $AB$.
• По симметрии правильной пирамиды, $SH$ можно выразить через $SO$ и угол наклона бокового ребра.

Треугольник $SAO$ — прямоугольный:

Подставим $SO = 5 \cdot AO$:

Теперь в треугольнике $SAB$:

Тангенс угла:

Тангенс угла между плоскостью боковой грани $SAB$ и основанием равен:

Проводя аналогичные вычисления, можно выразить $\tan \beta$ через данные и вычислить его численное значение.