Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2 дм, а двугранный угол при боковом

Ответы на вопрос

Отвечает Кобаяши Микото.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Нам дана правильная четырёхугольная пирамида (основание — квадрат) со стороной основания $a = 2$ дм. Также известен двугранный угол при боковом ребре: $\theta = 120^\circ$ . Нужно найти высоту пирамиды $h$ .

Шаг 1. Обозначения и свойства

Пусть:

$ABCD$ — квадрат основания со стороной $AB = BC = CD = DA = 2$ дм.
$S$ — вершина пирамиды.
$SA, SB, SC, SD$ — боковые рёбра.
Пирамиду называют правильной, значит вершина $S$ находится строго над центром квадрата $O$ .

Тогда:

AO = BO = CO = DO = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \text{ дм}

Высота пирамиды — это $SO = h$ .

Шаг 2. Двугранный угол при боковом ребре

Двугранный угол при боковом ребре, например $SA$ , — это угол между двумя плоскостями, смежными по ребру $SA$ :

\text{двугранный угол } \theta = \angle (\triangle SAB, \triangle SAD)

Формула для косинуса двугранного угла при боковом ребре правильной пирамиды:

\cos \theta = \frac{h^2 - \frac{a^2}{2}}{h^2 + \frac{a^2}{2}}

Где:

$a$ — сторона основания
$h$ — высота пирамиды
$\theta$ — двугранный угол при боковом ребре.

Эта формула получается из того, что нормали к смежным боковым граням образуют угол, равный двугранному углу.

Шаг 3. Подставляем данные

Имеем:

a = 2, \quad \theta = 120^\circ

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$

Подставим в формулу:

\cos \theta = \frac{h^2 - \frac{a^2}{2}}{h^2 + \frac{a^2}{2}} \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{2} = \frac{h^2 - \frac{2^2}{2}}{h^2 + \frac{2^2}{2}}

Вычисляем $a^2 / 2 = 4 / 2 = 2$ . Тогда уравнение:

-\frac{1}{2} = \frac{h^2 - 2}{h^2 + 2}

Шаг 4. Решаем уравнение

-\frac{1}{2} (h^2 + 2) = h^2 - 2

- \frac{1}{2} h^2 - 1 = h^2 - 2

- \frac{1}{2} h^2 - h^2 = -2 + 1

- \frac{3}{2} h^2 = -1

h^2 = \frac{2}{3}

h = \frac{\sqrt{6}}{3} \text{ дм}

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2 дм, а двугранный угол при боковом ребре — 120 градусов. Найдите высоту пирамиды.

Ответы на вопрос

Шаг 1. Обозначения и свойства

Шаг 2. Двугранный угол при боковом ребре

Шаг 3. Подставляем данные

Шаг 4. Решаем уравнение

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия