Треугольник ABC – прямоугольный с прямым углом C. Биссектриса угла A пересекает сторону CB в точке

Ответы на вопрос

Отвечает Любимов Алексей.

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом.

Дано:

Шаг 1: Найдём сторону BC.

Так как треугольник прямоугольный с прямым углом в C, используем теорему Пифагора:

AB^2 = AC^2 + BC^2

Подставляем:

10^2 = 6^2 + BC^2

100 = 36 + BC^2

BC^2 = 64 \implies BC = 8

Шаг 2: Найдём точку K на CB.

Биссектриса делит противолежащую сторону пропорционально прилежащим сторонам. Для биссектрисы из угла A:

\frac{CK}{KB} = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

Пусть CK = 3x, KB = 5x, тогда CB = CK + KB = 3x + 5x = 8x. Но мы знаем, что CB = 8, значит:

8x = 8 \implies x = 1

Следовательно:

CK = 3 \cdot 1 = 3, \quad KB = 5 \cdot 1 = 5

Точка K делит CB в отношении 3:5, ближе к C.

Шаг 3: Вычислим площадь ΔKAB.

Для удобства расположим треугольник на координатной плоскости:

Тогда CB горизонтальна.

Биссектриса из A пересекает CB в K. Используем формулу деления отрезка по направлению:

K_x = \frac{B_x \cdot CK + C_x \cdot KB}{CK + KB} = \frac{8 \cdot 3 + 0 \cdot 5}{3+5} = \frac{24}{8} = 3

K_y = 0 \quad \text{(так как CB горизонтальна)}

Таким образом, K = (3,0).

Шаг 4: Площадь ΔKAB по координатам.

Формула площади треугольника с вершинами (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3):

S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|

Подставляем:

S = \frac{1}{2} |0(0-0) + 8(0-6) + 3(6-0)| = \frac{1}{2} |0 + 8(-6) + 3*6|

S = \frac{1}{2} |-48 + 18| = \frac{1}{2} | -30 | = 15

Ответ:

\boxed{15}

Площадь треугольника KAB равна 15.

Треугольник ABC – прямоугольный с прямым углом C. Биссектриса угла A пересекает сторону CB в точке K. Известно, что AC = 6, AB = 10. Чему равна площадь треугольника KAB?