Помогите, пожалуйста.


1.Разность двух односторонних углов при пересечении двухпараллельных прямых секущей равна 50 градусам. Найти эти углы.

2. Прямая , проходящая через середину биссектрисыАД треугольника АВС и перпендикулярная к АД. пересекает сторону АС в точке М. Докажи , что МД параллельна АВ.

3. Медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС . Докажи, что треугольник прямоугольный.

4.На сторонах угла О отмечены точкиА иВ так, что ОА=ОВ. Через эти точки проведены прямые перпендикулярные к сторонам угла. и пересекающиеся в точке С. Докажи, что луч ОС- биссектриса угла О.

Ответ на вопросы:

1. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найти эти углы.

Пусть углы обозначены как $x$ и $y$. По условию задачи:

При пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$:

Решим систему уравнений:

Сложим уравнения:

Подставим значение $x$ во второе уравнение:

Ответ: углы $115^\circ$ и $65^\circ$.

2. Прямая, проходящая через середину биссектрисы $АД$ треугольника $АВС$ и перпендикулярная к $АД$, пересекает сторону $АС$ в точке $М$. Доказать, что $МД \parallel АВ$.

1. Пусть $АД$ — биссектриса $\angle А$, $О$ — середина отрезка $АД$, а $ОМ$ — перпендикуляр к $АД$.
2. Так как $О$ — середина $АД$, точка $О$ делит биссектрису на равные части, а $ОМ$ перпендикулярно $АД$, то $ОМ$ является средней линией в треугольнике $АВД$.
3. Средняя линия треугольника параллельна основанию. Так как $АД$ — биссектриса, стороны $АВ$ и $АС$ связаны пропорционально, и $ОМ$ делит $АС$ в точке $М$, сохраняя параллельность.
4. Следовательно, $МД \parallel АВ$.

3. Медиана $АМ$ треугольника $АВС$ равна половине стороны $ВС$. Доказать, что треугольник прямоугольный.

1. Пусть $АМ$ — медиана, а $M$ — середина $ВС$. Тогда по условию:

2. Рассмотрим треугольник $АВС$. Согласно свойству медианы в прямоугольном треугольнике:
   • Если медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, то треугольник прямоугольный, и гипотенуза — сторона $ВС$.
3. Для доказательства применим теорему Пифагора:
   • Пусть $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$. Тогда медиана выражается формулой:
   $$AM = \frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}{2}.$$ Подставим условие $AM = \frac{1}{2} a$: $$\frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}{2} = \frac{a}{2}.$$ Умножим на 2: $$\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = a.$$ Возведём в квадрат: $$2b^2 + 2c^2 - a^2 = a^2.$$ Упростим: $$2b^2 + 2c^2 = 2a^2 \implies b^2 + c^2 = a^2.$$ Это равенство доказывает, что треугольник $АВС$ прямоугольный (по теореме Пифагора).

4. На сторонах угла $O$ отмечены точки $A$ и $B$, так что $OA = OB$. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла, и пересекающиеся в точке $C$. Доказать, что луч $OC$ — биссектриса угла $O$.

1. Точки $A$ и $B$ равны по расстоянию до вершины угла ($OA = OB$).
2. Проведём перпендикуляры из $A$ и $B$ к сторонам угла. Они пересекаются в точке $C$