Используя только циркуль и линейку, выполни построение угла a, если известно, что cos a = 2/9.

Возьмём произвольный отрезок $u$ как единицу длины. Нужно построить прямоугольный треугольник, у которого прилежащий к искомому углу катет равен $2u$, а гипотенуза — $9u$. Тогда по определению косинуса получится

Построение:

1. Проведите луч $AX$.

2. С помощью циркуля отложите на этом луче от точки $A$:

   • точку $B$ так, чтобы $AB=2u$;

   • точку $D$ так, чтобы $AD=9u$.

   Точка $B$ должна лежать между $A$ и $D$.

3. Через точку $B$ постройте перпендикуляр к прямой $AD$.

4. Проведите окружность с центром в точке $A$ и радиусом $AD$.

5. Обозначьте одну из точек пересечения этой окружности с перпендикуляром через $B$ буквой $C$.

6. Соедините точки $A$ и $C$.

Тогда искомый угол:

Почему построение верно:

По построению $BC\perp AB$, следовательно, треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при $B$.

Кроме того,

а так как точка $C$ лежит на окружности с центром $A$ и радиусом $AD=9u$, то

В прямоугольном треугольнике $ABC$

Значит, $\angle BAC$ — требуемый угол $a$. Пересечение окружности с перпендикуляром может быть выбрано по любую сторону от луча $AX$: получатся два симметричных угла одинаковой величины.