Как соотносятся площади сфер, вписанной в куб и описанной около этого же куба?

Пусть ребро куба равно $a$.

1. Радиус вписанной сферы

Сфера, вписанная в куб, касается всех его граней, поэтому ее диаметр равен ребру куба:

откуда

2. Радиус сферы, описанной около куба

У такой сферы центр совпадает с центром куба, а радиус равен расстоянию от центра куба до его вершины. Это половина пространственной диагонали куба.

Пространственная диагональ куба равна:

значит радиус описанной сферы:

3. Площади сфер

Формула площади поверхности сферы:

Тогда для вписанной сферы:

Для описанной сферы:

4. Отношение площадей

Ответ: площади поверхностей вписанной и описанной сфер относятся как $1:3$.