Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают. Докажите, что при этом радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.

Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a$.
Обозначим через $O$ общий для него центр — это одновременно центр вписанной и описанной окружностей, а также точка пересечения медиан, высот и биссектрис.

1. Связь радиусов с отрезками $OA$ и $OM$

• $R = OA$ — расстояние от центра описанной окружности до любой вершины треугольника.

• $r = OM$ — расстояние от того же центра до любой стороны; возьмём, например, сторону $BC$ и её середину $M$. Тогда $OM$ перпендикулярно $BC$ и равно радиусу вписанной окружности.

2. Как $O$ делит медиану

$AM$ — медиана, высота и биссектриса одновременно. В любом треугольнике точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Поэтому

3. Переход к радиусам

4. Итог

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной:

Другими словами, если центры окружностей совпадают, то от общего центра до вершины вдвое дальше, чем до стороны.