Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две наклонные АВ и АС. Известно, что угол OAB = углу BAC = 60°, АО = 1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Разберу конфигурацию через прямоугольный треугольник $AOB$ и затем проверю, достаточно ли данных для однозначного нахождения $BC$.

Однозначно найти расстояние $BC$ нельзя: данных в условии недостаточно.

Разберём, что действительно можно найти.

Так как $AO \perp \alpha$, то $AO \perp OB$, значит треугольник $AOB$ прямоугольный.

Дано:

В прямоугольном треугольнике $AOB$:

Также:

Но про наклонную $AC$ известно только то, что

Этого мало. Наклонная $AC$ может иметь разную длину и разное положение в пространстве, оставаясь при этом под углом $60^\circ$ к $AB$. Поэтому точка $C$ может находиться в разных местах плоскости $\alpha$, и расстояние $BC$ будет разным.

Например, можно выбрать $AC=3$ см. Тогда в треугольнике $ABC$:

Получается равносторонний треугольник, и

Но можно выбрать, например, $AC=2$ см. Тогда по теореме косинусов:

Оба варианта удовлетворяют условию, но дают разные значения $BC$.

Значит, расстояние между основаниями наклонных $B$ и $C$ по данным условия не определяется однозначно. Для решения нужно ещё какое-то дополнительное условие, например длина $AC$, угол $OAC$ или положение точки $C$.