Из точки, отстоящей от плоскости на 4 см, проведены две наклонные под углом 30° к плоскости. Угол между проекциями равен 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Пусть $P$ — данная точка, $\alpha$ — плоскость. Опустим из $P$ перпендикуляр на плоскость $\alpha$; его основание обозначим $H$. Тогда

Проведены две наклонные $PA$ и $PB$, пересекающие плоскость в точках $A$ и $B$. Их проекции на плоскость — это отрезки $HA$ и $HB$. По условию угол между проекциями равен

1) Найдём длины проекций $HA$ и $HB$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $PHA$: он прямоугольный при $H$, потому что $PH \perp \alpha$, а $HA$ лежит в плоскости $\alpha$.

Угол между наклонной $PA$ и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$. Это и есть угол между наклонной $PA$ и её проекцией $HA$, то есть

В прямоугольном треугольнике $PHA$:

Отсюда

Аналогично

2) Найдём расстояние между основаниями $A$ и $B$

Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости, поэтому рассматриваем треугольник $AHB$ в плоскости $\alpha$, где

По теореме косинусов:

Так как $\cos 120^\circ=-\frac12$, получаем:

поэтому

Ответ: $12$ см.