Точка M принадлежит стороне BC параллелограмма ABCD, причём BM:MC = 3:1. Выразите векторы AM и MD через векторы AD = a и AB = b.

Давай разберёмся пошагово. Нам нужно выразить векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MD}$ через $\vec{AD} = \vec{a}$ и $\vec{AB} = \vec{b}$, когда $M$ делит сторону $BC$ в отношении $BM : MC = 3 : 1$.

1. Задаём координаты через векторы

Пусть у нас есть параллелограмм $ABCD$. Введём векторы:

Тогда другие стороны параллелограмма можно записать так:

Аналогично, позиционные векторы точек (через точку $A$):

2. Находим точку M

Точка $M$ делит $BC$ в отношении $BM : MC = 3 : 1$.
Формула деления отрезка векторами: если $M$ делит $\vec{BC}$ в отношении $k : 1$, то

Здесь $k = 3$, $\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (\vec{A} + \vec{a} + \vec{b}) - (\vec{A} + \vec{b}) = \vec{a}$