Точка К лежит на стороне АВ,а точка М-на стороне СД параллелограмма АВСД,причем АК=КВ,СМ:МД=2:5.Выразите векторКМ через векторы р=АВ и q-АД

Чтобы выразить вектор $\overrightarrow{KM}$ через векторы $\mathbf{p} = \overrightarrow{AB}$ и $\mathbf{q} = \overrightarrow{AD}$, давайте разберемся поэтапно, используя геометрические и векторные соотношения.

Шаг 1: Представление точек в терминах векторов

1. Точка $K$ на стороне $AB$: Так как $AK = KB$, точка $K$ делит отрезок $AB$ пополам. Это означает, что $K$ является серединой отрезка $AB$, и его положение можно выразить как:

   $$\overrightarrow{K} = \overrightarrow{A} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A} + \frac{1}{2} \mathbf{p}$$

2. Точка $M$ на стороне $CD$: У нас есть отношение $\frac{CM}{MD} = \frac{2}{5}$, что означает, что точка $M$ делит отрезок $CD$ в отношении 2 к 5. Это можно выразить через параметрическое уравнение, где точка $M$ будет находиться на $CD$ в виде:

   $$\overrightarrow{M} = \overrightarrow{C} + \lambda \cdot (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{C})$$

   где $\lambda$ — коэффициент, определяющий положение точки $M$. Так как отношение $CM:MD = 2:5$, то $\lambda = \frac{2}{7}$. Вектор $\overrightarrow{C}$ можно выразить через векторы $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$, так как $ABCD$ — параллелограмм, и $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \mathbf{q}$, а $\overrightarrow{D} = \overrightarrow{B} + \mathbf{q}$.

   Таким образом, вектор $\overrightarrow{M}$ будет:

   $$\overrightarrow{M} = (\overrightarrow{A} + \mathbf{q}) + \frac{2}{7} \cdot (\overrightarrow{B} + \mathbf{q} - (\overrightarrow{A} + \mathbf{q}))$$

   Упростим это выражение:

   $$\overrightarrow{M} = \overrightarrow{A} + \mathbf{q} + \frac{2}{7} \cdot (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A})$$ $$\overrightarrow{M} = \overrightarrow{A} + \mathbf{q} + \frac{2}{7} \mathbf{p}$$