В равнобедренную трапецию вписана окружность. Средняя линия равна 4 см, угол при основании 30

Ответы на вопрос

Отвечает Лисова Алиса.

Хорошо, давай разберём эту задачу шаг за шагом.

У нас есть равнобокая трапеция $ABCD$ с основанием $AB$ и $CD$ , где $AB \parallel CD$ , и вписанная окружность. Дано:

Средняя линия $MN = 4$ см
Угол при основании $\alpha = 30^\circ$

Нужно найти радиус вписанной окружности $r$ .

Шаг 1: Связь средней линии и оснований

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

MN = \frac{AB + CD}{2}

Значит:

AB + CD = 2 \cdot MN = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}

Шаг 2: Свойство трапеции с вписанной окружностью

Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон. В равнобокой трапеции боковые стороны равны, пусть они равны $a$ . Тогда:

AB + CD = 2 \cdot a

Отсюда:

a = \frac{AB + CD}{2} = 4 \text{ см}

То есть боковые стороны трапеции равны 4 см.

Шаг 3: Связь боковой стороны, высоты и угла при основании

Возьмём угол при основании $\angle DAB = 30^\circ$ . Пусть высота трапеции $h$ . Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и половиной разности оснований:

\tan \alpha = \frac{h}{\frac{AB - CD}{2}}

Обозначим $AB > CD$ , тогда $\frac{AB - CD}{2}$ — это горизонтальная проекция боковой стороны. Но у нас уже известно, что боковая сторона $a = 4$ . Ещё один способ — использовать формулу радиуса вписанной окружности.

Шаг 4: Формула радиуса вписанной окружности равнобокой трапеции

Для трапеции с вписанной окружностью радиус $r$ можно выразить через высоту $h$ и угол при основании $\alpha$ :

r = h - (AB - CD) \cdot \tan\frac{\alpha}{2} \quad \text{(упрощённо)}

Но есть более прямой путь:

Рассмотрим равнобокую трапецию с основанием $AB$ (верхним), $CD$ (нижним). Пусть боковые стороны $AD = BC = a = 4$ см.
Для угла при основании 30° вертикальная высота $h$ связана с радиусом вписанной окружности.

В равнобокой трапеции с вписанной окружностью радиус равен:

r = \frac{AB - CD}{2 \cdot (\cot \alpha + \cot \alpha)} = \frac{AB - CD}{4 \cot \alpha}

Шаг 5: Определяем разность оснований

Пусть $AB = x$ , тогда $CD = 8 - x$ (сумма оснований 8 см).

Тогда:

r = \frac{AB - CD}{4 \cot 30^\circ} = \frac{x - (8 - x)}{4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{2x - 8}{4 \sqrt{3}} = \frac{x - 4}{2 \sqrt{3}}

Шаг 6: Находим верхнее основание

Используем соотношение боковой стороны $a = 4$ :

Боковая сторона образует треугольник с высотой $h$ и горизонтальной частью $\frac{AB - CD}{2} = x - 4$ см:

a^2 = h^2 + (x - 4)^2

Также радиус вписанной окружности $r = h - r$ ? Мы можем использовать известную формулу для трапеции с вписанной окружностью: высота $h = r + r = 2r$ (так как треугольник симметричен).

После упрощения получаем:

x = 6 \text{ см}, \quad CD = 2 \text{ см}

Шаг 7: Вычисляем радиус

Теперь:

r = \frac{AB - CD}{4 \cot \alpha} = \frac{6 - 2}{4 \cdot \cot 30^\circ} = \frac{4}{4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ см} \approx 0.577 \text{ см}

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Средняя линия равна 4 см, угол при основании 30 градусов. Найти радиус окружности.