В равнобедренную трапецию вписана окружность. Докажите, что её боковая сторона равна средней линии.

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Это означает, что все стороны трапеции касаются окружности. Для доказательства того, что боковая сторона равна средней линии, воспользуемся свойствами геометрии.

Пусть трапеция ABCD имеет основания $AB$ и $CD$, где $AB \parallel CD$, а боковые стороны $AD$ и $BC$ равны. В трапеции вписана окружность, и пусть эта окружность касается всех сторон трапеции.

1. Свойства трапеции с вписанной окружностью:
   Если в трапецию вписана окружность, то её боковые стороны $AD$ и $BC$ равны, а сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

   $$AB + CD = AD + BC$$

   Так как $AD = BC$, то можем записать:

   $$AB + CD = 2 \cdot AD$$

2. Средняя линия трапеции:
   Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон, и её длина равна полусумме длин оснований:

   $$\text{Средняя линия} = \frac{AB + CD}{2}$$

3. Соотношение средней линии и боковой стороны:
   Из уравнения для суммы оснований и боковых сторон $AB + CD = 2 \cdot AD$, можно выразить:

   $$AB + CD = 2 \cdot AD$$

   Подставим это в формулу для средней линии:

   $$\text{Средняя линия} = \frac{AB + CD}{2} = \frac{2 \cdot AD}{2} = AD$$

Таким образом, мы доказали, что боковая сторона равна средней линии трапеции.